問題は、与えられた整数の正の約数の総和を求めるというものです。 (1) 1024 (2) 1600 のそれぞれについて、正の約数の総和を計算します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた整数の正の約数の総和を求めるというものです。

(1) 1024

(2) 1600

のそれぞれについて、正の約数の総和を計算します。

2. 解き方の手順

正の約数の総和を求めるには、まず与えられた整数を素因数分解します。

次に、素因数分解の結果を使って約数の総和を計算します。

(1) 1024の場合：

1024を素因数分解すると、

$1024 = 2^{10}$

となります。

したがって、1024の正の約数の総和は、

$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{10}$

これは等比数列の和なので、公式を使って計算できます。

等比数列の和の公式は、初項を$a$, 公比を$r$, 項数を$n$とすると、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここでは、$a = 1$, $r = 2$, $n = 11$なので、

$S_{11} = \frac{1(2^{11} - 1)}{2 - 1} = 2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047$

(2) 1600の場合：

1600を素因数分解すると、

$1600 = 16 \times 100 = 2^4 \times 10^2 = 2^4 \times (2 \times 5)^2 = 2^4 \times 2^2 \times 5^2 = 2^6 \times 5^2$

となります。

したがって、1600の正の約数の総和は、

$(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6)(1 + 5 + 5^2)$

$= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64)(1 + 5 + 25)$

$= (127)(31)$

$= 3937$

3. 最終的な答え

(1) 1024の正の約数の総和は2047です。

(2) 1600の正の約数の総和は3937です。