与えられた3つの数について、正の約数の総和をそれぞれ求める問題です。 (1) $2^9$ (2) $2^5 \cdot 3^4$ (3) $4032$

1. 問題の内容

与えられた3つの数について、正の約数の総和をそれぞれ求める問題です。

(1) $2^9$

(2) $2^5 \cdot 3^4$

(3) $4032$

2. 解き方の手順

約数の総和を求める公式を利用します。ある数Nが素因数分解で $N = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_n^{e_n}$ と表されるとき、Nの約数の総和は、

$(1 + p_1 + p_1^2 + \dots + p_1^{e_1})(1 + p_2 + p_2^2 + \dots + p_2^{e_2}) \cdots (1 + p_n + p_n^2 + \dots + p_n^{e_n})$ で求められます。

等比数列の和の公式を使うと、

$\frac{p_1^{e_1+1} - 1}{p_1 - 1} \cdot \frac{p_2^{e_2+1} - 1}{p_2 - 1} \cdots \frac{p_n^{e_n+1} - 1}{p_n - 1}$

と表すこともできます。

(1) $2^9$ の場合:

約数の総和は $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^9$ となります。等比数列の和の公式を用いると、

$\frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$ となります。

(2) $2^5 \cdot 3^4$ の場合:

約数の総和は $(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5)(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4)$ となります。

それぞれの括弧の中を計算すると、

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$

$1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$

したがって、約数の総和は $63 \cdot 121 = 7623$ となります。

(3) $4032$ の場合:

4032を素因数分解すると、 $4032 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7$ となります。

約数の総和は $(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6)(1 + 3 + 3^2)(1 + 7)$ となります。

それぞれの括弧の中を計算すると、

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127$

$1 + 3 + 9 = 13$

$1 + 7 = 8$

したがって、約数の総和は $127 \cdot 13 \cdot 8 = 127 \cdot 104 = 13208$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $1023$

(2) $7623$

(3) $13208$