与えられた3つの数 $2^9$, $2^5 \cdot 3^4$, $4032$ の正の約数の総和をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの数 $2^9$, $2^5 \cdot 3^4$, $4032$ の正の約数の総和をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

正の整数 $n$ の素因数分解が $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$ で与えられたとき、正の約数の総和は

$(1 + p_1 + p_1^2 + \cdots + p_1^{e_1})(1 + p_2 + p_2^2 + \cdots + p_2^{e_2}) \cdots (1 + p_k + p_k^2 + \cdots + p_k^{e_k})$

で計算できる。これは等比数列の和の公式を用いて、

$\frac{p_1^{e_1+1} - 1}{p_1 - 1} \cdot \frac{p_2^{e_2+1} - 1}{p_2 - 1} \cdots \frac{p_k^{e_k+1} - 1}{p_k - 1}$

と表すこともできる。

(1) $2^9$ の正の約数の総和

これは $2^0 + 2^1 + \cdots + 2^9 = \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$ となる。

(2) $2^5 \cdot 3^4$ の正の約数の総和

$\frac{2^6 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = (2^6 - 1) \cdot \frac{3^5 - 1}{2} = (64 - 1) \cdot \frac{243 - 1}{2} = 63 \cdot \frac{242}{2} = 63 \cdot 121 = 7623$ となる。

(3) $4032$ の正の約数の総和

まず、$4032$ を素因数分解する。

$4032 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7$ となる。

よって正の約数の総和は

$\frac{2^7 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3 - 1} \cdot \frac{7^2 - 1}{7 - 1} = (2^7 - 1) \cdot \frac{3^3 - 1}{2} \cdot \frac{7^2 - 1}{6} = (128 - 1) \cdot \frac{27 - 1}{2} \cdot \frac{49 - 1}{6} = 127 \cdot \frac{26}{2} \cdot \frac{48}{6} = 127 \cdot 13 \cdot 8 = 127 \cdot 104 = 13208$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $2^9$ の正の約数の総和：1023

(2) $2^5 \cdot 3^4$ の正の約数の総和：7623

(3) 4032 の正の約数の総和：13208