12人の生徒を、指定された人数構成の3つのグループに分ける場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 7人、3人、2人の3組に分ける。 (2) 4人ずつ3組に分ける。 (3) 6人、3人、3人の3組に分ける。

1. 問題の内容

12人の生徒を、指定された人数構成の3つのグループに分ける場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 7人、3人、2人の3組に分ける。

(2) 4人ずつ3組に分ける。

(3) 6人、3人、3人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 7人、3人、2人の3組に分ける場合

まず、12人の中から7人を選ぶ組み合わせの数は ${}_{12}C_7$ 通りです。

次に、残りの5人の中から3人を選ぶ組み合わせの数は ${}_5C_3$ 通りです。

最後に、残りの2人の中から2人を選ぶ組み合わせの数は ${}_2C_2$ 通りです。

したがって、求める場合の数は

${}_{12}C_7 \times {}_5C_3 \times {}_2C_2 = \frac{12!}{7!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 792 \times 10 \times 1 = 7920$ 通り

(2) 4人ずつ3組に分ける場合

まず、12人の中から4人を選ぶ組み合わせの数は ${}_{12}C_4$ 通りです。

次に、残りの8人の中から4人を選ぶ組み合わせの数は ${}_8C_4$ 通りです。

最後に、残りの4人の中から4人を選ぶ組み合わせの数は ${}_4C_4$ 通りです。

この場合、3つのグループの人数が同じなので、グループの区別をなくすために、3!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は

$\frac{{}_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4}{3!} = \frac{\frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!}}{3!} = \frac{495 \times 70 \times 1}{6} = \frac{34650}{6} = 5775$ 通り

(3) 6人、3人、3人の3組に分ける場合

まず、12人の中から6人を選ぶ組み合わせの数は ${}_{12}C_6$ 通りです。

次に、残りの6人の中から3人を選ぶ組み合わせの数は ${}_6C_3$ 通りです。

最後に、残りの3人の中から3人を選ぶ組み合わせの数は ${}_3C_3$ 通りです。

この場合、3人のグループが2つあるので、それらの区別をなくすために2!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は

$\frac{{}_{12}C_6 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{2!} = \frac{\frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{2!} = \frac{924 \times 20 \times 1}{2} = \frac{18480}{2} = 9240$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 7920通り

(2) 5775通り

(3) 9240通り