全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、$n(U) = 100$, $n(A) = 60$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 15$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $A^c$ (2) $A \cup B$ (3) $A^c \cap B$ (4) $A^c \cap B^c$

## 問題1

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、$n(U) = 100$, $n(A) = 60$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 15$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $A^c$

(2) $A \cup B$

(3) $A^c \cap B$

(4) $A^c \cap B^c$

2. 解き方の手順

(1) $A^c$ （Aの補集合）の要素の個数は、全体集合の要素の個数からAの要素の個数を引けば求まります。

$n(A^c) = n(U) - n(A)$

(2) $A \cup B$ （AとBの和集合）の要素の個数は、Aの要素の個数とBの要素の個数を足し、AとBの共通部分の要素の個数を引けば求まります。（重複を避けるため）

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

(3) $A^c \cap B$ （Aの補集合とBの共通部分）の要素の個数は、Bの要素の個数からAとBの共通部分の要素の個数を引けば求まります。

$n(A^c \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$

(4) $A^c \cap B^c$ （Aの補集合とBの補集合の共通部分）の要素の個数は、ド・モルガンの法則により、$(A \cup B)^c$ と等しくなります。つまり、全体集合から AとBの和集合の要素の個数を引けば求まります。

$n(A^c \cap B^c) = n((A \cup B)^c) = n(U) - n(A \cup B)$

それぞれの計算を行うと:

(1) $n(A^c) = 100 - 60 = 40$

(2) $n(A \cup B) = 60 + 40 - 15 = 85$

(3) $n(A^c \cap B) = 40 - 15 = 25$

(4) $n(A^c \cap B^c) = 100 - 85 = 15$

3. 最終的な答え

(1) $n(A^c) = 40$

(2) $n(A \cup B) = 85$

(3) $n(A^c \cap B) = 25$

(4) $n(A^c \cap B^c) = 15$

## 問題2

1. 問題の内容

100から200までの整数の中で、4でも6でも割り切れない整数の個数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、100から200までの整数の個数を求めます。

次に、100から200までの整数の中で、4で割り切れる整数の個数を求めます。

次に、100から200までの整数の中で、6で割り切れる整数の個数を求めます。

次に、100から200までの整数の中で、4でも6でも割り切れる整数の個数を求めます。4でも6でも割り切れるということは、4と6の最小公倍数である12で割り切れることと同じです。

最後に、100から200までの整数の個数から、4で割り切れる整数の個数と6で割り切れる整数の個数を足したものを引き、さらに4でも6でも割り切れる整数の個数を足し戻します（包除原理）。

100から200までの整数の個数: $200 - 100 + 1 = 101$

4で割り切れる整数の個数: $\lfloor\frac{200}{4}\rfloor - \lfloor\frac{99}{4}\rfloor = 50 - 24 = 26$

6で割り切れる整数の個数: $\lfloor\frac{200}{6}\rfloor - \lfloor\frac{99}{6}\rfloor = 33 - 16 = 17$

12で割り切れる整数の個数: $\lfloor\frac{200}{12}\rfloor - \lfloor\frac{99}{12}\rfloor = 16 - 8 = 8$

4または6で割り切れる整数の個数: $26 + 17 - 8 = 35$

4でも6でも割り切れない整数の個数: $101 - 35 = 66$

3. 最終的な答え

66個