与えられた式から二重根号をはずして簡単にせよ、という問題です。 具体的には、以下の3つの大問があります。 (1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$, $\sqrt{17 - 2\sqrt{42}}$, $\sqrt{9 - 2\sqrt{20}}$ (2) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$, $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$, $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$ (3) $\sqrt{4 + \sqrt{7}}$, $\sqrt{7 - \sqrt{33}}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた式から二重根号をはずして簡単にせよ、という問題です。 具体的には、以下の3つの大問があります。

(1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$, $\sqrt{17 - 2\sqrt{42}}$, $\sqrt{9 - 2\sqrt{20}}$

(2) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$, $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$, $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

(3) $\sqrt{4 + \sqrt{7}}$, $\sqrt{7 - \sqrt{33}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外す公式は、$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$です。

また、$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, $x+y = a, xy = b$を利用できる場合は、こちらの公式を用いる方が簡単です。

それぞれの問題について、解き方を説明します。

(1)

(1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1$ (3+1 = 4, 3*1 = 3)

(2) $\sqrt{17 - 2\sqrt{42}} = \sqrt{14} - \sqrt{3}$ (14+3 = 17, 14*3 = 42)

(3) $\sqrt{9 - 2\sqrt{20}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2$ (5+4 = 9, 5*4 = 20)

(2)

(1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ (3+2 = 5, 3*2 = 6)

(2) $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}} = \sqrt{11 + 2\sqrt{24}} = \sqrt{8} + \sqrt{3} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$ (8+3 = 11, 8*3 = 24)

(3) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{32}} = \sqrt{8} - \sqrt{4} = 2\sqrt{2} - 2$ (8+4 = 12, 8*4 = 32)

(3)

(1) $\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{16 - 7}}{2}} + \sqrt{\frac{4 - \sqrt{16 - 7}}{2}} = \sqrt{\frac{4 + 3}{2}} + \sqrt{\frac{4 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{2}}{2}$

(2) $\sqrt{7 - \sqrt{33}} = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{49 - 33}}{2}} - \sqrt{\frac{7 - \sqrt{49 - 33}}{2}} = \sqrt{\frac{7 + 4}{2}} - \sqrt{\frac{7 - 4}{2}} = \sqrt{\frac{11}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{22} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

(1) $\sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{14} - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{5} - 2$

(2)

(1) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

(2) $2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

(3) $2\sqrt{2} - 2$

(3)

(1) $\frac{\sqrt{14} + \sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{22} - \sqrt{6}}{2}$