$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ の形の二重根号を外すには、$A^2 - B$ が平方数になる必要があります。

今回の場合は、$A = 2$ で $B = 3$ なので、$A^2 - B = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$ となり、これは平方数なので、二重根号を外せます。

$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ を変形するために、まず $\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ とします。

$4 - 2\sqrt{3}$ の部分を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ の形にしたいので、$a + b = 4$ かつ $ab = 3$ となる $a, b$ を探します。

$a = 3$ と $b = 1$ が条件を満たすことがわかります。よって、$4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$ となります。

したがって、$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$ となります（$\sqrt{3} > 1$ なので絶対値は不要です）。

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$