分母に根号を含む分数の分母を有理化する問題です。問題は $ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} $ の分母を有理化せよ、というものです。

1. 問題の内容

分母に根号を含む分数の分母を有理化する問題です。問題は $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ、というものです。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数を分母と分子にかけます。この場合、分母の $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ の共役な複素数は $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ です。したがって、分母と分子に$\sqrt{5}-\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

分子は

$1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

となります。

分母は

$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

となります。

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$