与えられたブール関数 $f$ を簡略化します。 $f = \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + A\overline{B}CD + ACD + BCD$

1. 問題の内容

与えられたブール関数 $f$ を簡略化します。

$f = \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + A\overline{B}CD + ACD + BCD$

2. 解き方の手順

ブール代数の法則を利用して、式を簡略化します。

まず、$B\overline{C}D$ の項が2つあるので、まとめます。

$f = \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + A\overline{B}CD + ACD + BCD$

次に、$BCD$と$ACD$の項について、$CD$でくくります。

$ACD + BCD = (A + B)CD$

したがって、式は次のようになります。

$f = \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + A\overline{B}CD + (A + B)CD$

$f = \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + A\overline{B}CD + ACD + BCD$

$A\overline{B}CD + ACD = (A\overline{B} + A)CD = A(\overline{B} + 1)CD = ACD$

したがって、

$f = \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + ACD + BCD$

$f = \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + (A+B)CD$

この式をさらに簡略化するのは難しいようです。問題文の式をKarnaugh Mapで簡略化してみます。

| | $\overline{C}\overline{D}$ | $\overline{C}D$ | $CD$ | $C\overline{D}$ |

|---|---|---|---|---|

| $\overline{A}\overline{B}$ | 0 | 0 | 0 | 0 |

| $\overline{A}B$ | 1 | 1 | 0 | 0 |

| $AB$ | 0 | 0 | 1 | 0 |

| $A\overline{B}$ | 0 | 0 | 1 | 0 |

上記の表は元の式の $A\overline{B}CD$を正しく反映していません。

元の式 $f = \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + A\overline{B}CD + ACD + BCD$ に基づいて書き直します。

| | $\overline{C}\overline{D}$ | $\overline{C}D$ | $CD$ | $C\overline{D}$ |

|---|---|---|---|---|

| $\overline{A}\overline{B}$ | 0 | 0 | 0 | 0 |

| $\overline{A}B$ | 1 | 1 | 0 | 0 |

| $AB$ | 0 | 1 | 1 | 0 |

| $A\overline{B}$ | 0 | 0 | 1 | 0 |

$\overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + A\overline{B}CD + ACD + BCD = \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + (A\overline{B} + A + B)CD$

$= \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + (A + B)CD$

$= \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + B\overline{C}D + ACD + BCD$

Kマップで簡略化すると、$B\overline{C}D + BCD = BD$.

$ACD + BCD = (A+B)CD$

簡略化の結果は $BD + \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + ACD$です。

3. 最終的な答え

$f = B\overline{C}D + \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + ACD$

または

$f= BD + \overline{A}B\overline{C}\overline{D} + ACD$