全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、以下の情報が与えられています。 $n(U) = 50$ $n(A \cup B) = 42$ $n(A \cap B) = 3$ $n(\overline{A} \cap B) = 15$ これらの情報をもとに、以下の値を求めます。 (1) $n(\overline{A} \cap B)$ (2) $n(A \cap \overline{B})$ (3) $n(A)$ (4) $n(B)$

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、以下の情報が与えられています。

$n(U) = 50$

$n(A \cup B) = 42$

$n(A \cap B) = 3$

$n(\overline{A} \cap B) = 15$

これらの情報をもとに、以下の値を求めます。

(1) $n(\overline{A} \cap B)$

(2) $n(A \cap \overline{B})$

(3) $n(A)$

(4) $n(B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A} \cap B)$ については、問題文中に $n(\overline{A} \cap B) = 15$ と与えられています。

(2) $n(A \cap \overline{B})$ を求めます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ という公式を使います。

また、$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$、$n(B) = n(A \cap B) + n(\overline{A} \cap B)$ が成り立ちます。

$n(A \cup B) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B) + n(\overline{A} \cap B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B}) + n(\overline{A} \cap B)$

この式を変形して、$n(A \cap \overline{B})$ を求めます。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A \cup B) - n(A \cap B) - n(\overline{A} \cap B)$

$n(A \cap \overline{B}) = 42 - 3 - 15 = 24$

(3) $n(A)$ を求めます。

$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$

$n(A) = 3 + 24 = 27$

(4) $n(B)$ を求めます。

$n(B) = n(A \cap B) + n(\overline{A} \cap B)$

$n(B) = 3 + 15 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A} \cap B) = 15$

(2) $n(A \cap \overline{B}) = 24$

(3) $n(A) = 27$

(4) $n(B) = 18$