与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。 $\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k-4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。

$\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k-4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、左側の項を計算します。

$\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{8} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

次に、右側の項を計算します。

$\left( \frac{k-4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{k-16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

与えられた式全体は以下のようになります。

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{k-16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

この式をさらに簡略化するためには、$k$の値が必要になります。しかし、$k$の値が与えられていないので、ここで計算を終了します。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{k-16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$