$(\sqrt{10} - \sqrt{54})(\sqrt{20} + \sqrt{3})$を計算します。

1. 問題の内容

$(\sqrt{10} - \sqrt{54})(\sqrt{20} + \sqrt{3})$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中を簡単にします。

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

よって、与えられた式は

$(\sqrt{10} - 3\sqrt{6})(2\sqrt{5} + \sqrt{3})$

となります。これを展開します。

$\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \cdot \sqrt{3} - 3\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{5} - 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}$

$= 2\sqrt{50} + \sqrt{30} - 6\sqrt{30} - 3\sqrt{18}$

さらに簡単にします。

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

したがって

$2(5\sqrt{2}) + \sqrt{30} - 6\sqrt{30} - 3(3\sqrt{2})$

$= 10\sqrt{2} + \sqrt{30} - 6\sqrt{30} - 9\sqrt{2}$

$= (10\sqrt{2} - 9\sqrt{2}) + (\sqrt{30} - 6\sqrt{30})$

$= \sqrt{2} - 5\sqrt{30}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} - 5\sqrt{30}$