質量$M$の台が摩擦のない水平面上に置かれており、その下端に質量$m$の小球が初速度$v$で打ち込まれた。小球は台の上を上り始め、台は水平方向に移動し始めた。小球が台上および水平面内を移動するものとして、以下の問いに答えよ。 (1) 小球が最高点に達したときの小球の水平面からの高さを求めよ。 (2) 小球が再び台の下端に達した時の小球の速度を求めよ。

1. 問題の内容

質量$M$の台が摩擦のない水平面上に置かれており、その下端に質量$m$の小球が初速度$v$で打ち込まれた。小球は台の上を上り始め、台は水平方向に移動し始めた。小球が台上および水平面内を移動するものとして、以下の問いに答えよ。

(1) 小球が最高点に達したときの小球の水平面からの高さを求めよ。

(2) 小球が再び台の下端に達した時の小球の速度を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

小球が最高点に達したとき、小球と台の速度は等しくなる。この速度を$V$とする。

水平方向の運動量保存の法則より、

$mv = (m+M)V$

よって、

$V = \frac{m}{m+M}v$

エネルギー保存の法則より、最高点の高さを$h$とすると、

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + mgh$

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m+M) \left( \frac{m}{m+M}v \right)^2 + mgh$

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{m^2}{m+M}v^2 + mgh$

$gh = \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}\frac{m}{m+M}v^2 = \frac{1}{2}v^2 \left( 1 - \frac{m}{m+M} \right) = \frac{1}{2}v^2 \frac{M}{m+M}$

$h = \frac{Mv^2}{2(m+M)g}$

(2)

小球が再び台の下端に達したときの小球の速度を$v'$、台の速度を$V'$とする。

水平方向の運動量保存の法則より、

$mv = mv' + MV'$

エネルギー保存の法則より、

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}MV'^2$

運動量保存の式から$V' = \frac{m}{M}(v - v')$。これをエネルギー保存の式に代入すると、

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}M\left( \frac{m}{M}(v - v') \right)^2$

$mv^2 = mv'^2 + \frac{m^2}{M}(v - v')^2$

$Mv^2 = Mv'^2 + m(v^2 - 2vv' + v'^2)$

$Mv^2 = (M+m)v'^2 - 2mvv' + mv^2$

$(M+m)v'^2 - 2mvv' - (M-m)v^2 = 0$

これを$v'$について解くと、

$v' = \frac{2mv \pm \sqrt{4m^2v^2 + 4(M+m)(M-m)v^2}}{2(M+m)} = \frac{2mv \pm \sqrt{4m^2v^2 + 4(M^2-m^2)v^2}}{2(M+m)}$

$v' = \frac{2mv \pm \sqrt{4M^2v^2}}{2(M+m)} = \frac{2mv \pm 2Mv}{2(M+m)} = \frac{m \pm M}{M+m}v$

$v' = v$は初期状態なので、$v' = \frac{m-M}{M+m}v$

よって、$v' = \frac{m-M}{m+M}v$

3. 最終的な答え

(1) 小球が最高点に達したときの水平面からの高さ: $\frac{Mv^2}{2(m+M)g}$

(2) 小球が再び台の下端に達した時の小球の速度: $\frac{m-M}{m+M}v$