半径 $16$ cm、中心角 $80^\circ$ の扇形と、半径 $r$ cm、中心角 $160^\circ$ の扇形がある。この2つの扇形の弧の長さが等しいとき、半径 $r$ を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $16$ cm、中心角 $80^\circ$ の扇形と、半径 $r$ cm、中心角 $160^\circ$ の扇形がある。この2つの扇形の弧の長さが等しいとき、半径 $r$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

扇形の弧の長さは、$2 \pi \times \text{半径} \times \frac{\text{中心角}}{360}$ で求められます。

半径 $16$ cm、中心角 $80^\circ$ の扇形の弧の長さは、

$2 \pi \times 16 \times \frac{80}{360} = 32 \pi \times \frac{2}{9} = \frac{64\pi}{9}$

半径 $r$ cm、中心角 $160^\circ$ の扇形の弧の長さは、

$2 \pi \times r \times \frac{160}{360} = 2 \pi r \times \frac{4}{9} = \frac{8\pi r}{9}$

この2つの扇形の弧の長さが等しいので、

$\frac{64\pi}{9} = \frac{8\pi r}{9}$

両辺に $\frac{9}{\pi}$ をかけると、

$64 = 8r$

両辺を $8$ で割ると、

$r = \frac{64}{8} = 8$

3. 最終的な答え

$r = 8$