問題は、式 $x^3 = (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ において、係数 $a$, $b$, $c$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、式 $x^3 = (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ において、係数 $a$, $b$, $c$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)^3$を展開します。

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

次に、与えられた式に代入します。

$x^3 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

次に、$(x-1)^2$と$(x-1)$を展開します。

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

$(x-1) = x - 1$

これらの展開式を元の式に代入します。

$x^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c$

$x^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

$x^3$を左辺から右辺へ移動します。

$0 = - 3x^2 + 3x - 1 + ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

次に、同類項をまとめます。

$0 = (a - 3)x^2 + (3 - 2a + b)x + (a - b + c - 1)$

この式が恒等式となるためには、各項の係数が0でなければなりません。

$x^2$の係数: $a - 3 = 0$

$x$の係数: $3 - 2a + b = 0$

定数項: $a - b + c - 1 = 0$

これらの式から、$a$, $b$, $c$を求めます。

まず、$a$から求めます。

$a - 3 = 0$ より、$a = 3$

次に、$b$を求めます。

$3 - 2a + b = 0$ に $a = 3$ を代入します。

$3 - 2(3) + b = 0$

$3 - 6 + b = 0$

$-3 + b = 0$

$b = 3$

最後に、$c$を求めます。

$a - b + c - 1 = 0$ に $a = 3$ と $b = 3$ を代入します。

$3 - 3 + c - 1 = 0$

$c - 1 = 0$

$c = 1$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 3$

$c = 1$