直角三角形が与えられており、一つの角 $\theta$ に対する正接（タンジェント）の値が $tan \theta = \frac{1}{2}$ である。高さが10のとき、斜辺の長さ $x$ を求めよ。ただし、答えは根号を含む形で、根号の中の自然数が最小となるように答える。

1. 問題の内容

直角三角形が与えられており、一つの角 $\theta$ に対する正接（タンジェント）の値が $tan \theta = \frac{1}{2}$ である。高さが10のとき、斜辺の長さ $x$ を求めよ。ただし、答えは根号を含む形で、根号の中の自然数が最小となるように答える。

2. 解き方の手順

まず、タンジェントの定義を確認します。

$tan \theta = \frac{対辺}{隣辺}$

与えられた図では、$\theta$ に対する対辺の長さは10、隣辺の長さを $y$ とすると、

$tan \theta = \frac{10}{y}$

問題文より、$tan \theta = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{10}{y} = \frac{1}{2}$

これを解いて $y = 20$ を得ます。

次に、ピタゴラスの定理を用いて、斜辺の長さ $x$ を求めます。

$x^2 = 10^2 + y^2$

$x^2 = 10^2 + 20^2$

$x^2 = 100 + 400$

$x^2 = 500$

$x = \sqrt{500}$

ここで、$\sqrt{500}$ を簡単にします。

$500 = 100 \times 5 = 10^2 \times 5$

よって、$x = \sqrt{100 \times 5} = \sqrt{10^2} \times \sqrt{5} = 10\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$x = 10\sqrt{5}$