$\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき、 $\frac{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos2\theta + i\sin2\theta)}{\cos3\theta - i\sin3\theta}$ の値を求める。

その他複素数ド・モアブルの定理三角関数複素平面
2025/5/15

1. 問題の内容

θ=π12\theta = \frac{\pi}{12} のとき、 (cosθ+isinθ)(cos2θ+isin2θ)cos3θisin3θ\frac{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos2\theta + i\sin2\theta)}{\cos3\theta - i\sin3\theta} の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、分子をド・モアブルの定理を使って簡略化する。
(cosθ+isinθ)(cos2θ+isin2θ)=cos(θ+2θ)+isin(θ+2θ)=cos3θ+isin3θ(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos2\theta + i\sin2\theta) = \cos(\theta+2\theta) + i\sin(\theta+2\theta) = \cos3\theta + i\sin3\theta
次に、式全体を書き換える。
(cosθ+isinθ)(cos2θ+isin2θ)cos3θisin3θ=cos3θ+isin3θcos3θisin3θ\frac{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos2\theta + i\sin2\theta)}{\cos3\theta - i\sin3\theta} = \frac{\cos3\theta + i\sin3\theta}{\cos3\theta - i\sin3\theta}
分母の複素共役を分子と分母にかける。
cos3θ+isin3θcos3θisin3θ=(cos3θ+isin3θ)(cos3θ+isin3θ)(cos3θisin3θ)(cos3θ+isin3θ)\frac{\cos3\theta + i\sin3\theta}{\cos3\theta - i\sin3\theta} = \frac{(\cos3\theta + i\sin3\theta)(\cos3\theta + i\sin3\theta)}{(\cos3\theta - i\sin3\theta)(\cos3\theta + i\sin3\theta)}
=(cos3θ+isin3θ)2cos23θ+sin23θ=(cos3θ+isin3θ)21=(cos3θ+isin3θ)2= \frac{(\cos3\theta + i\sin3\theta)^2}{\cos^2 3\theta + \sin^2 3\theta} = \frac{(\cos3\theta + i\sin3\theta)^2}{1} = (\cos3\theta + i\sin3\theta)^2
再びド・モアブルの定理を使う。
(cos3θ+isin3θ)2=cos(23θ)+isin(23θ)=cos6θ+isin6θ(\cos3\theta + i\sin3\theta)^2 = \cos(2\cdot 3\theta) + i\sin(2\cdot 3\theta) = \cos6\theta + i\sin6\theta
θ=π12\theta = \frac{\pi}{12} を代入する。
cos6θ+isin6θ=cos(6π12)+isin(6π12)=cosπ2+isinπ2\cos6\theta + i\sin6\theta = \cos(6 \cdot \frac{\pi}{12}) + i\sin(6 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}
cosπ2=0\cos\frac{\pi}{2} = 0
sinπ2=1\sin\frac{\pi}{2} = 1
したがって、cosπ2+isinπ2=0+i1=i\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i\cdot 1 = i

3. 最終的な答え

i

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