$\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき、 $\frac{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos2\theta + i\sin2\theta)}{\cos3\theta - i\sin3\theta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき、 $\frac{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos2\theta + i\sin2\theta)}{\cos3\theta - i\sin3\theta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、分子をド・モアブルの定理を使って簡略化する。

$(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos2\theta + i\sin2\theta) = \cos(\theta+2\theta) + i\sin(\theta+2\theta) = \cos3\theta + i\sin3\theta$

次に、式全体を書き換える。

$\frac{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos2\theta + i\sin2\theta)}{\cos3\theta - i\sin3\theta} = \frac{\cos3\theta + i\sin3\theta}{\cos3\theta - i\sin3\theta}$

分母の複素共役を分子と分母にかける。

$\frac{\cos3\theta + i\sin3\theta}{\cos3\theta - i\sin3\theta} = \frac{(\cos3\theta + i\sin3\theta)(\cos3\theta + i\sin3\theta)}{(\cos3\theta - i\sin3\theta)(\cos3\theta + i\sin3\theta)}$

$= \frac{(\cos3\theta + i\sin3\theta)^2}{\cos^2 3\theta + \sin^2 3\theta} = \frac{(\cos3\theta + i\sin3\theta)^2}{1} = (\cos3\theta + i\sin3\theta)^2$

再びド・モアブルの定理を使う。

$(\cos3\theta + i\sin3\theta)^2 = \cos(2\cdot 3\theta) + i\sin(2\cdot 3\theta) = \cos6\theta + i\sin6\theta$

$\theta = \frac{\pi}{12}$ を代入する。

$\cos6\theta + i\sin6\theta = \cos(6 \cdot \frac{\pi}{12}) + i\sin(6 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$

$\cos\frac{\pi}{2} = 0$

$\sin\frac{\pi}{2} = 1$

したがって、$\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i\cdot 1 = i$

3. 最終的な答え

i