$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $x + y$ (2) $xy$ (3) $2x - 2y$ (4) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $x + y$

(2) $xy$

(3) $2x - 2y$

(4) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x + y$ を計算します。

$x + y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$

(2) $xy$ を計算します。

$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

(3) $2x - 2y$ を計算します。

$2x - 2y = 2(x - y) = 2((\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2})) = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$

(4) $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を利用します。

(1)より、$x + y = 2\sqrt{3}$であり、(2)より、$xy = 1$です。

したがって、$x^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(1) = 4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10$

または、直接計算することもできます。

$x^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$

$y^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$

$x^2 + y^2 = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{3}$

(2) $1$

(3) $4\sqrt{2}$

(4) $10$