(1) 与えられた数列の第k項と、初項から第n項までの和を求める。数列は $\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} + \frac{1}{4}, -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \dots, \left(-\frac{1}{2}\right)^n, \dots$ である。 (2) 与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。数列は $4, -3, -6, -5, 0, 9, \dots$ である。

1. 問題の内容

(1) 与えられた数列の第k項と、初項から第n項までの和を求める。数列は $\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} + \frac{1}{4}, -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \dots, \left(-\frac{1}{2}\right)^n, \dots$ である。

(2) 与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。数列は $4, -3, -6, -5, 0, 9, \dots$ である。

2. 解き方の手順

(1)

まず、数列の第k項を求める。

第k項は $-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^k}$ である。

これは、初項 $-\frac{1}{2}$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列の和なので、

第k項 = $\frac{-\frac{1}{2}(1-(-\frac{1}{2})^k)}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{-\frac{1}{2}(1-(-\frac{1}{2})^k)}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}(1-(-\frac{1}{2})^k) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^k$

よって、1: 1/3, 2: (-1/2), 3: k

次に、初項から第n項までの和を求める。

求める和を$S_n$とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^k)$

$= \sum_{k=1}^{n} -\frac{1}{3} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^k$

$= -\frac{n}{3} + \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{2})^k$

$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{2})^k$ は初項 $-\frac{1}{2}$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{2})^k = \frac{-\frac{1}{2}(1-(-\frac{1}{2})^n)}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{-\frac{1}{2}(1-(-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}(1-(-\frac{1}{2})^n) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n$

$S_n = -\frac{n}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n) = -\frac{n}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9}(-\frac{1}{2})^n$

$S_n = -\frac{n}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9}(-\frac{1}{2})^n$

$S_n = -\frac{1}{9}(3n+1) + \frac{1}{9}(-\frac{1}{2})^n$

よって、4: 3, 5: 9, 6: 1, 7: 9

(2)

数列 $\{a_n\}$ は $4, -3, -6, -5, 0, 9, \dots$ である。

階差数列を求めると、$-7, -3, 1, 5, 9, \dots$ となり、これは初項-7、公差4の等差数列である。

したがって、階差数列の一般項は $-7+(n-1)4 = 4n-11$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k-11) = 4 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k - 11\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 4 + 4\frac{(n-1)n}{2} - 11(n-1) = 4 + 2n(n-1) - 11n + 11$

$= 4 + 2n^2 - 2n - 11n + 11 = 2n^2 - 13n + 15$

よって、8: 2, 9: 13, 10: -, 11: 15, 12: +

3. 最終的な答え

(1) 第k項: $-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^k$

初項から第n項までの和: $-\frac{n}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9}(-\frac{1}{2})^n$

(2) $a_n = 2n^2 - 13n + 15$

回答の形式の指定に従い、解答を完成させると、

(1)

第k項: $-\frac{1}{[1]} + \frac{1}{[2]}(-\frac{1}{[3]})^k$

初項から第n項までの和: $-\frac{[4]}{n} - \frac{1}{[5]} + \frac{1}{[6]}(-\frac{1}{[7]})^n$

(2)

$a_n = [8]n^2 - [9][10]n + [11][12]$

[1] = 3

[2] = 3

[3] = 2

[4] = 3

[5] = 9

[6] = 9

[7] = 2

[8] = 2

[9] = 13

[10] = (不要)

[11] = 15

[12] = (不要)