定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - 4x + 2) dx$ の値を求めよ。ただし、$\alpha$ と $\beta$ は被積分関数 $x^2 - 4x + 2$ が $0$ となるときの2つの実数解であり、$\alpha < \beta$ とする。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - 4x + 2) dx$ の値を求めよ。ただし、$\alpha$ と $\beta$ は被積分関数 $x^2 - 4x + 2$ が $0$ となるときの2つの実数解であり、$\alpha < \beta$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 4x + 2 = 0$ を解いて、$\alpha$ と $\beta$ を求める。

解の公式より、

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$

したがって、$\alpha = 2 - \sqrt{2}$、$\beta = 2 + \sqrt{2}$ である。

次に、定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - 4x + 2) dx$ を計算する。

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - 4x + 2) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 2x\right]_{\alpha}^{\beta} = \left(\frac{1}{3}\beta^3 - 2\beta^2 + 2\beta\right) - \left(\frac{1}{3}\alpha^3 - 2\alpha^2 + 2\alpha\right)$$

$\alpha = 2 - \sqrt{2}$、$\beta = 2 + \sqrt{2}$ を代入する。

$$\frac{1}{3}(2+\sqrt{2})^3 - 2(2+\sqrt{2})^2 + 2(2+\sqrt{2}) - \left(\frac{1}{3}(2-\sqrt{2})^3 - 2(2-\sqrt{2})^2 + 2(2-\sqrt{2})\right)$$

$$=\frac{1}{3}((8 + 12\sqrt{2} + 12 + 2\sqrt{2}) - (8 - 12\sqrt{2} + 12 - 2\sqrt{2})) - 2((4+4\sqrt{2}+2) - (4-4\sqrt{2}+2)) + 2(2+\sqrt{2} - (2-\sqrt{2}))$$

$$=\frac{1}{3}(20 + 14\sqrt{2} - (20 - 14\sqrt{2})) - 2(6+4\sqrt{2} - (6-4\sqrt{2})) + 2(2\sqrt{2})$$

$$=\frac{1}{3}(28\sqrt{2}) - 2(8\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} = \frac{28\sqrt{2}}{3} - 16\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = \frac{28\sqrt{2}}{3} - 12\sqrt{2} = \frac{28\sqrt{2} - 36\sqrt{2}}{3} = \frac{-8\sqrt{2}}{3}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{8\sqrt{2}}{3}$