曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と直線 $y = k$ （$k$ は定数）が4点で交わるとき、以下の問いに答える。 (1) $k$ のとり得る値の範囲を求める。 (2) 曲線と直線で囲まれた図形について、$y > k$ の部分の面積と、$y < k$ の部分の面積が等しいとき、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と直線 $y = k$ （$k$ は定数）が4点で交わるとき、以下の問いに答える。

(1) $k$ のとり得る値の範囲を求める。

(2) 曲線と直線で囲まれた図形について、$y > k$ の部分の面積と、$y < k$ の部分の面積が等しいとき、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^4 + 2x^2$ のグラフを描く。

$y = -x^4 + 2x^2 = -x^2(x^2 - 2)$

$x^2 = t$ と置くと、$y = -t^2 + 2t = -(t - 1)^2 + 1$

$t \geq 0$ であるから、$t = 1$ のとき、$y = 1$ で最大となる。

$x = 0$ のとき、$y = 0$ である。

$x^2 = 0$ のとき、$x = 0$

$x^2 = 2$ のとき、$x = \pm \sqrt{2}$

グラフは $x$ 軸に関して対称である。

$y = -x^4 + 2x^2$ と $y = k$ が4点で交わるためには、$0 < k < 1$ である必要がある。

(2) 曲線と直線で囲まれた図形の面積を考える。

$y = -x^4 + 2x^2 = k$ の解を求める。

$-x^4 + 2x^2 - k = 0$

$x^2 = t$ と置くと、$-t^2 + 2t - k = 0$

$t^2 - 2t + k = 0$

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4k}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 - k}$

$x^2 = 1 \pm \sqrt{1 - k}$

$x = \pm \sqrt{1 \pm \sqrt{1 - k}}$

$x_1 = -\sqrt{1 + \sqrt{1 - k}}$, $x_2 = -\sqrt{1 - \sqrt{1 - k}}$, $x_3 = \sqrt{1 - \sqrt{1 - k}}$, $x_4 = \sqrt{1 + \sqrt{1 - k}}$

曲線と直線で囲まれた図形について、$y > k$ の部分の面積と、$y < k$ の部分の面積が等しいとき、$k$ の値は、$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^4 + 2x^2 - k) dx = 0$ を満たす必要がある。

$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^4 + 2x^2) dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} k dx$

$2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (-x^4 + 2x^2) dx = 2 k \int_{0}^{\sqrt{2}} dx$

$\int_{0}^{\sqrt{2}} (-x^4 + 2x^2) dx = k \sqrt{2}$

$[-\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3}]_{0}^{\sqrt{2}} = k \sqrt{2}$

$-\frac{(\sqrt{2})^5}{5} + \frac{2(\sqrt{2})^3}{3} = k \sqrt{2}$

$-\frac{4\sqrt{2}}{5} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = k \sqrt{2}$

$-\frac{4}{5} + \frac{4}{3} = k$

$k = \frac{-12 + 20}{15} = \frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $0 < k < 1$

(2) $k = \frac{8}{15}$