整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。

元の命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」の対偶は、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」となる。

この対偶を証明する。

$n$ が偶数であると仮定する。

このとき、$n$ はある整数 $k$ を用いて $n = 2k$ と表せる。

$n = 2k$ を2乗すると、

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

となる。

$2k^2$ は整数であるから、$n^2$ は2の倍数であり、したがって $n^2$ は偶数である。

したがって、$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数であるという対偶が真であることが示された。

対偶が真であるとき、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」は証明された。