曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と直線 $y = k$ （$k$は定数）が4点で交わるとき、以下の問いに答えます。 (1) $k$ のとり得る値の範囲を求めます。 (2) 曲線と直線で囲まれた図形について、$y > k$ の部分の面積と、$y < k$ の部分の面積が等しいとき、$k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と直線 $y = k$ （$k$は定数）が4点で交わるとき、以下の問いに答えます。

(1) $k$ のとり得る値の範囲を求めます。

(2) 曲線と直線で囲まれた図形について、$y > k$ の部分の面積と、$y < k$ の部分の面積が等しいとき、$k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ のグラフの概形を把握するために、微分して増減を調べます。

$y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = -4x(x - 1)(x + 1)$

$y' = 0$ となるのは $x = -1, 0, 1$ のときです。

$x = -1$ のとき $y = -(-1)^4 + 2(-1)^2 = -1 + 2 = 1$

$x = 0$ のとき $y = -0^4 + 2(0)^2 = 0$

$x = 1$ のとき $y = -1^4 + 2(1)^2 = -1 + 2 = 1$

増減表を書くと、

x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ...

-------|------|------|------|------|------|------|------

y' | + | 0 | - | 0 | + | 0 | -

-------|------|------|------|------|------|------|------

y | ↑ | 1 | ↓ | 0 | ↑ | 1 | ↓

グラフの概形から、直線 $y = k$ がこの曲線と4点で交わるためには、$0 < k < 1$ である必要があります。

(2)

曲線と直線で囲まれた図形において、$y > k$ の部分の面積と $y < k$ の部分の面積が等しいとき、その境界となる直線 $y = k$ は、曲線と直線で囲まれた図形の面積を二等分する直線である必要があります。

曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ は $y$ 軸に関して対称であるため、積分区間を考慮すると、全体の面積は

$2 \int_0^a (-x^4 + 2x^2 - k) dx = 0$ となる必要があります。ただし、$a$ は $-x^4 + 2x^2 = k$ の正の解。

面積が等しい時、$\int_{-a}^{a} (-x^4+2x^2-k) dx = 0$ となります。

$\int_{-a}^{a} (-x^4+2x^2-k) dx = [-\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} - kx]_{-a}^{a} = (-\frac{a^5}{5} + \frac{2a^3}{3} - ka) - (\frac{a^5}{5} - \frac{2a^3}{3} + ka) = -\frac{2a^5}{5} + \frac{4a^3}{3} - 2ka = 0$

$-\frac{a^5}{5} + \frac{2a^3}{3} - ka = 0$

$a(-\frac{a^4}{5} + \frac{2a^2}{3} - k) = 0$

$a \neq 0$ より、$-\frac{a^4}{5} + \frac{2a^2}{3} - k = 0$

また、$-x^4 + 2x^2 = k$ より、$k = -a^4 + 2a^2$ なので、

$-\frac{a^4}{5} + \frac{2a^2}{3} - (-a^4 + 2a^2) = 0$

$\frac{4}{5} a^4 - \frac{4}{3} a^2 = 0$

$a^2 (\frac{4}{5} a^2 - \frac{4}{3}) = 0$

$a^2 \neq 0$ より、$\frac{4}{5} a^2 = \frac{4}{3}$

$a^2 = \frac{5}{3}$

$k = -a^4 + 2a^2 = -(\frac{5}{3})^2 + 2(\frac{5}{3}) = -\frac{25}{9} + \frac{10}{3} = \frac{-25 + 30}{9} = \frac{5}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $0 < k < 1$

(2) $k = \frac{5}{9}$