与えられた媒介変数表示された関数が極座標であるかどうかを尋ねています。関数は $x = \sin(t)$ および $y = \sin(2t)$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた媒介変数表示された関数が極座標であるかどうかを尋ねています。関数は $x = \sin(t)$ および $y = \sin(2t)$ で与えられています。

2. 解き方の手順

極座標は通常、動径 $r$ と偏角 $\theta$ で表されます。直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の間には以下の関係があります。

$x = r\cos(\theta)$

$y = r\sin(\theta)$

与えられた関数は媒介変数 $t$ を用いて直交座標で表されています。つまり、$t$を消去して$x$と$y$の関係式を求め、それが極座標の形式$r=f(\theta)$で表せるかどうかを検討する必要があります。

まず、$y = \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$ であることを利用します。

$x = \sin(t)$であるから、$y = 2x\cos(t)$となります。

$\cos(t) = \sqrt{1-\sin^2(t)} = \sqrt{1-x^2}$ であるから、$y = 2x\sqrt{1-x^2}$ が得られます。

$x^2 + y^2 = r^2$なので、極座標で表すことを試みます。しかし、この式を直接$r=f(\theta)$の形に変形するのは難しいです。この媒介変数表示が表す曲線はリサージュ図形の一種であり、極座標で簡単に表現できるとは限りません。画像に書かれている質問は、この媒介変数表示が極座標であるかどうかを尋ねているため、極座標であるとは言えません。

媒介変数表示は、極座標表示とは異なる表現方法です。

3. 最終的な答え

この媒介変数表示は極座標ではありません。