与えられた式 $(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)-72 = 0$ を満たす $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)-72 = 0$ を満たす $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。$(x-1)(x+1)$ と $(x+2)(x+4)$ をそれぞれ計算します。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

$(x+2)(x+4) = x^2 + 6x + 8$

よって、与式は $(x^2 - 1)(x^2 + 6x + 8) - 72 = 0$ となります。

これを展開すると、

$x^4 + 6x^3 + 8x^2 - x^2 - 6x - 8 - 72 = 0$

$x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x - 80 = 0$

ここで、$y = x^2 + 3x$ とおくと、 $y^2 = (x^2+3x)^2 = x^4 + 6x^3 + 9x^2$ となります。

すると、$x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x - 80 = (x^4 + 6x^3 + 9x^2) - 2x^2 - 6x - 80 = y^2 - 2(x^2+3x) - 80 = y^2 - 2y - 80 = 0$

この$y$に関する二次方程式を解きます。

$y^2 - 2y - 80 = (y-10)(y+8) = 0$

よって、$y = 10$ または $y = -8$ です。

$y = 10$ のとき、$x^2 + 3x = 10$ より、$x^2 + 3x - 10 = 0$

$(x+5)(x-2) = 0$ なので、$x = -5$ または $x = 2$ です。

$y = -8$ のとき、$x^2 + 3x = -8$ より、$x^2 + 3x + 8 = 0$

これは実数解を持ちません。なぜなら判別式 $D = 3^2 - 4(1)(8) = 9 - 32 = -23 < 0$ だからです。

3. 最終的な答え

したがって、与えられた方程式を満たす $x$ の値は $x = -5$ または $x = 2$ です。

$x = -5, 2$