(1) 20の倍数であり、正の約数の個数が10個である自然数 $n$ を求める。 (2) 300以下の自然数のうち、正の約数の個数が9個である数を全て求める。

1. 問題の内容

(1) 20の倍数であり、正の約数の個数が10個である自然数 $n$ を求める。

(2) 300以下の自然数のうち、正の約数の個数が9個である数を全て求める。

2. 解き方の手順

(1)

自然数 $n$ の素因数分解を $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$ と表すと、約数の個数は $(e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1)$ となる。

約数の個数が10個なので、 $(e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1) = 10$ となる。

$10 = 2 \times 5$ であるから、考えられる指数は

- $n = p^9$

- $n = p_1^4 p_2$

のいずれかの形である。

$n$ は20の倍数であるから、 $n$ は $2^2 \times 5$ を約数に持つ。

$n = p^9$ の形では、20の倍数にならない。

$n = p_1^4 p_2$ の形で考える。

$n = 2^4 \times 5 = 80$

$n = 5^4 \times 2 = 1250$

$n = 2^4 \times p$, ($p \ne 5$)

$n = 5^4 \times p$, ($p \ne 2$)

$n = 2^a \times 5^b \times \cdots$

$20 = 2^2 \times 5$ であるので、$n$ は $2^2$ と $5$ で割り切れる。

$n = p_1^4 p_2$ の形を考えると、

$n = 2^4 \times 5 = 80$. 80 は20の倍数で、約数の個数は $(4+1)(1+1) = 10$。

$n = 5^4 \times 2 = 1250$. 1250 は20の倍数で、約数の個数は $(4+1)(1+1) = 10$。

よって、$n = 80$ と $n = 1250$ が候補となる。

(2)

約数の個数が9個であるので、 $(e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1) = 9$ となる。

$9 = 3 \times 3$ であるから、考えられる指数は

- $n = p^8$

- $n = p_1^2 p_2^2$

のいずれかの形である。

$n = p^8$ の形について、$p=2$ のとき、$n = 2^8 = 256$。

$p=3$ のとき、$n = 3^8$ これは300を超える。

$n = p_1^2 p_2^2$ の形について、

$n = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

$n = 2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100$

$n = 2^2 \times 7^2 = 4 \times 49 = 196$

$n = 2^2 \times 11^2 = 4 \times 121 = 484$ これは300を超える。

$n = 3^2 \times 5^2 = 9 \times 25 = 225$

$n = 3^2 \times 7^2 = 9 \times 49 = 441$ これは300を超える。

$n = 5^2 \times 7^2 = 25 \times 49$ これは300を超える。

よって、300以下の自然数で約数の個数が9個であるものは、$36, 100, 196, 225, 256$ である。

3. 最終的な答え

(1) 80, 1250

(2) 36, 100, 196, 225, 256