(1) 4で割ると1余り、7で割ると3余る3桁の自然数の中で最大のものを求める。 (2) 11で割ると2余り、13で割ると5余る4桁の自然数の中で最小のものを求める。

1. 問題の内容

(1) 4で割ると1余り、7で割ると3余る3桁の自然数の中で最大のものを求める。

(2) 11で割ると2余り、13で割ると5余る4桁の自然数の中で最小のものを求める。

2. 解き方の手順

(1)

求める自然数を $n$ とおく。

$n$ はある整数 $k, l$ を用いて次のように表せる。

$n = 4k + 1$

$n = 7l + 3$

$4k + 1 = 7l + 3$

$4k = 7l + 2$

$k = \frac{7l + 2}{4}$

$l = 2$ のとき $k = 4$ となり、$n = 4 * 4 + 1 = 17$ となる。

$l = 2 + 4t$ （$t$は整数）とおくと、$k = \frac{7(2+4t) + 2}{4} = \frac{16 + 28t}{4} = 4 + 7t$ となる。

したがって、 $n = 4(4+7t) + 1 = 16 + 28t + 1 = 28t + 17$

求める$n$は3桁であるから、 $100 \leq 28t + 17 \leq 999$ を満たす必要がある。

$83 \leq 28t \leq 982$

$\frac{83}{28} \leq t \leq \frac{982}{28}$

$2.96... \leq t \leq 35.07...$

$t$は整数なので、$3 \leq t \leq 35$ となる。

$t=35$のとき、$n = 28 * 35 + 17 = 980 + 17 = 997$

これが3桁の自然数で最大となる。

(2)

求める自然数を $m$ とおく。

$m$ はある整数 $p, q$ を用いて次のように表せる。

$m = 11p + 2$

$m = 13q + 5$

$11p + 2 = 13q + 5$

$11p = 13q + 3$

$p = \frac{13q + 3}{11}$

$q = 6$ のとき $p = 7$ となり、$m = 11 * 7 + 2 = 79$ となる。

$q = 6 + 11s$ （$s$は整数）とおくと、$p = \frac{13(6+11s) + 3}{11} = \frac{81 + 143s}{11} = \frac{81}{11} + 13s$

整数にするには $p = \frac{13(6 + 11s) + 3}{11} = \frac{78 + 143s + 3}{11} = \frac{81 + 143s}{11} = 7 + 13s$ となる。

したがって、 $m = 11(7+13s) + 2 = 77 + 143s + 2 = 143s + 79$

求める$m$は4桁であるから、 $1000 \leq 143s + 79 \leq 9999$ を満たす必要がある。

$921 \leq 143s \leq 9920$

$\frac{921}{143} \leq s \leq \frac{9920}{143}$

$6.44... \leq s \leq 69.37...$

$s$は整数なので、$7 \leq s \leq 69$ となる。

$s=7$のとき、$m = 143 * 7 + 79 = 1001 + 79 = 1080$

これが4桁の自然数で最小となる。

3. 最終的な答え

(1) 997

(2) 1080