$ac^2 - bc^2 + a^2b - a^2c + b^2c - ab^2$

## 数学の問題

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1. 問題の内容

次の3つの式を因数分解してください。

(1) $(a - b)c^2 + (b - c)a^2 + (c - a)b^2$

(2) $x^4 + 3x^2 + 4$

(3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

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2. 解き方の手順

**(1) $(a - b)c^2 + (b - c)a^2 + (c - a)b^2$**

1. 式を展開します。

$ac^2 - bc^2 + a^2b - a^2c + b^2c - ab^2$

2. $a$について整理します。

$(b - c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2)$

3. 各項を因数分解します。

$(b - c)a^2 - (b^2 - c^2)a + bc(b - c)$

$(b - c)a^2 - (b + c)(b - c)a + bc(b - c)$

4. $(b - c)$でくくります。

$(b - c)[a^2 - (b + c)a + bc]$

5. $a^2 - (b + c)a + bc$を因数分解します。

$a^2 - (b + c)a + bc = (a - b)(a - c)$

6. 結果をまとめます。

$(b - c)(a - b)(a - c)$

$= -(a - b)(b - c)(c - a)$

**(2) $x^4 + 3x^2 + 4$**

1. $x^4 + 3x^2 + 4$を平方完成の形に変形します。

$x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 = (x^2 + 2)^2 - x^2$

2. 和と差の積の公式を使って因数分解します。

$(x^2 + 2 + x)(x^2 + 2 - x)$

3. 式を整理します。

$(x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

**(3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$**

1. 因数定理を用いて、因数を探します。$x = 1$を代入すると、$1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$となるため、$x - 1$は因数です。$x = -1$を代入すると、$1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$となるため、$x + 1$も因数です。$x = 2$を代入すると、$16 - 8 - 28 + 2 + 6 = -12$となり、$x = -2$を代入すると、$16 + 8 - 28 - 2 + 6 = 0$となるので、$x + 2$も因数です。$x = 3$を代入すると、$81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0$となるため、$x - 3$も因数です。

2. $(x-1)(x+1)(x+2)(x-3) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ となることを確認しても良いですし、組み立て除法を繰り返しても良いです。

3. 結果をまとめます。

$(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3)$

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3. 最終的な答え

(1) $-(a - b)(b - c)(c - a)$

(2) $(x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

(3) $(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3)$