次の連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。 $ \begin{cases} 2x - 3 < x \\ 2x - a > 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

$$

\begin{cases}

2x - 3 < x \\

2x - a > 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解く。

(1)の不等式:

$2x - 3 < x$

$2x - x < 3$

$x < 3$

(2)の不等式:

$2x - a > 0$

$2x > a$

$x > \frac{a}{2}$

したがって、連立不等式の解は $\frac{a}{2} < x < 3$ となる。

この範囲に整数 $x$ がちょうど4個存在する条件を考える。

$x$ は整数なので、条件を満たす整数は小さい順に $-2, -1, 0, 1, 2$である。$x<3$より整数は$2$までであるから、

この連立不等式を満たす整数 $x$ が4個存在するためには、整数が $-1, 0, 1, 2$でなければならない。

したがって、

$-2 < \frac{a}{2} \leq -1$ が必要となる。

$\frac{a}{2}$ が $-2$ 未満だと、条件を満たす整数が3個以下になってしまう。

$\frac{a}{2}$ が $-1$ より大きいと、条件を満たす整数が5個以上になってしまう。

$-2 < \frac{a}{2} \leq -1$ を解くと、

$-4 < a \leq -2$

3. 最終的な答え

$-4 < a \leq -2$