問題5は、正の定数 $a$ について、不等式 $|-2x+3| \le a$ を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

問題5は、正の定数 $a$ について、不等式 $|-2x+3| \le a$ を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の不等式を解きます。

$|-2x+3| \le a$ は $-a \le -2x+3 \le a$ と同値です。

各辺から3を引くと $-a-3 \le -2x \le a-3$ となります。

各辺を-2で割ると (負の数で割るので不等号の向きが変わります) $\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$ となります。

この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど4個となる条件を考えます。

$x$ は $\frac{3-a}{2}$ 以上 $\frac{3+a}{2}$ 以下の整数です。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = \frac{2a}{2} = a$ なので、不等式を満たす $x$ の幅は $a$ となります。

$x$ が整数値をとるので、幅が $a$ の範囲に整数が4個入る条件を考えます。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} + 1 > 4$ が必要条件と考えられます。

しかし、整数値なので、$\frac{3-a}{2}$ と $\frac{3+a}{2}$ が共に整数か、整数でないかによって場合分けが必要です。

まず、$x$ が整数である条件より、$\frac{3+a}{2}$ に最も近い整数と $\frac{3-a}{2}$ に最も近い整数を含む4つの整数を考えます。

$x_1, x_2, x_3, x_4$ が不等式を満たす4つの整数であるとします。

このとき、 $x_4 - x_1 = 3$ です。

つまり、$3 < \frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} \le 4$ になる必要があります。

不等式の差は $a$ なので、$3 < a \le 5$ と予想されます。

不等式 $\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$ を満たす整数 $x$ が4個となる条件を考えます。

$n$ を整数として、$\frac{3-a}{2} = n + \epsilon$ とすると、$\frac{3+a}{2} = \frac{3-(3-2n-2\epsilon)}{2} + 3 = n + \epsilon + a$ です。

したがって、整数 $x$ が4個存在するには、$\frac{3-a}{2} \le n, n+1, n+2, n+3 \le \frac{3+a}{2}$ でなければなりません。

このとき $n+4$ は範囲外である必要があります。

$\frac{3-a}{2} \le n$ より $3-a \le 2n$ 、つまり $a \ge 3-2n$ です。

$\frac{3+a}{2} \ge n+3$ より $3+a \ge 2n+6$ 、つまり $a \ge 2n+3$ です。

$\frac{3+a}{2} < n+4$ より $3+a < 2n+8$ 、つまり $a < 2n+5$ です。

$2n+3 \le a < 2n+5$ となります。

$n$ は任意の整数なので、$2n+3 \le a < 2n+5$ を満たす $a$ は常に存在することになり、$a$ の範囲は決まりません。

$\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$ を満たす整数が4個であるためには、$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = a$ より、$x$ の範囲は幅が $a$ となります。

4つの整数を含むためには、$a > 3$ でなければなりません。

$a=3$ のとき、$1 < x < 3$ となり、整数 $x$ は2, 1, 2 と2個しかありません。

$a=4$ のとき、$\frac{-1}{2} < x < \frac{7}{2}$ となり、整数 $x$ は 0, 1, 2, 3 と4個あります。

$a=5$ のとき、$-1 < x < 4$ となり、整数 $x$ は 0, 1, 2, 3 と4個あります。

$a=6$ のとき、$\frac{-3}{2} < x < \frac{9}{2}$ となり、整数 $x$ は -1, 0, 1, 2, 3, 4 と6個あります。

したがって、$4 \le a < 6$ であると予想されます。

ただし、境界値で $x$ の個数が変化する可能性があります。

$\frac{3-a}{2}$ 以上の最小の整数を $m$ とします。

$\frac{3+a}{2}$ 以下の最大の整数を $M$ とします。

$M - m + 1 = 4$ となる条件を求めます。

$4 \le a < 5$

3. 最終的な答え

$4 \le a < 5$