$a$ を正の定数とするとき、不等式 $|-2x+3| \le a$ を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、不等式 $|-2x+3| \le a$ を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、絶対値不等式 $|-2x+3| \le a$ を解きます。

これは $-a \le -2x+3 \le a$ と同値です。

各辺から3を引くと、$-a-3 \le -2x \le a-3$ となります。

各辺を $-2$ で割ると（不等号の向きが変わることに注意）、$\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$ となります。

この範囲に含まれる整数 $x$ がちょうど4個であるという条件を考えます。

$\frac{3-a}{2}$ と $\frac{3+a}{2}$ の間隔は $\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = \frac{2a}{2} = a$ です。

$x$ は整数なので、$\frac{3-a}{2}$ と $\frac{3+a}{2}$ の間に連続する4つの整数が含まれる条件を考えます。

整数 $x$ が4個である条件は、$n, n+1, n+2, n+3$ がこの区間に含まれ、それ以外の整数が含まれないことです。

すなわち、$n \ge \frac{3-a}{2}$ かつ $n+3 \le \frac{3+a}{2}$ であり、$n-1 < \frac{3-a}{2}$ または $n+4 > \frac{3+a}{2}$ が成り立つ必要があります。

$n \ge \frac{3-a}{2}$ かつ $n+3 \le \frac{3+a}{2}$ より、$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = a \ge 3$となります。

一方、整数が4個より多くならない条件は、$a < 5$ となります。

よって、$3 \le a < 5$となります。

もう少し厳密に考えます。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = a$ なので、区間の長さが $a$ であることを利用します。

整数が4個含まれる条件は、$3 \le a < 5$ です。

$a=3$ のとき、例えば $x=0$ から $x=3$までの4つの整数は条件を満たします。

$a=5$ のとき、例えば $x=-1$ から $x=4$までの6つの整数は条件を満たしません。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = a$ なので、$3 \le a < 5$ です。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = a$ なので、この区間に含まれる整数の数がちょうど4個であるとき、$a \ge 3$ かつ $a < 5$ でなければなりません。

したがって、$3 \le a < 5$ です。

3. 最終的な答え

$3 \le a < 5$