$x^4 + 1$ を整式 $P(x)$ で割ったところ、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ で、余りが17であった。このとき、$P(x)$ を求めよ。

## 問題6

1. 問題の内容

$x^4 + 1$ を整式 $P(x)$ で割ったところ、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ で、余りが17であった。このとき、$P(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の割り算の関係式は、

$$$$

(割られる式) = (割る式) \times (商) + (余り)

$$$$

である。

したがって、

$$$$

x^4 + 1 = P(x) \times (x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + 17

$$$$

が成り立つ。

$P(x) \times (x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$ を左辺に移行して整理すると、

$$$$

P(x) \times (x^3 - 2x^2 + 4x - 8) = x^4 - 16

$$$$

となる。したがって、$P(x)$ は $x^4 - 16$ を $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ で割った商である。

ここで、$x^4 - 16$ は $(x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)$ と因数分解できる。

また、$x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x-2) + 4(x-2) = (x^2 + 4)(x-2)$ と因数分解できる。

したがって、

$$$$

P(x) = \frac{x^4 - 16}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} = \frac{(x^2 + 4)(x-2)(x+2)}{(x^2 + 4)(x-2)} = x+2

$$$$

となる。

3. 最終的な答え

$P(x) = x+2$