$p$ を素数とする。方程式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$p$ を素数とする。方程式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形する。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}$

両辺に $pxy$ を掛けて、

$py + px = xy$

$xy - px - py = 0$

両辺に $p^2$ を足して、

$xy - px - py + p^2 = p^2$

$(x - p)(y - p) = p^2$

ここで、$x$ と $y$ は正の整数なので、$x - p$ と $y - p$ は整数である。また、$p$ は素数なので、$p^2$ の約数は $1, p, p^2$ である。したがって、$x-p$ と $y-p$ の組み合わせとして考えられるのは以下の通りである。

1. $x - p = 1$ かつ $y - p = p^2$

2. $x - p = p$ かつ $y - p = p$

3. $x - p = p^2$ かつ $y - p = 1$

それぞれのケースについて $x$ と $y$ を求める。

1. $x - p = 1$ より $x = p + 1$。$y - p = p^2$ より $y = p^2 + p$。よって、$(x, y) = (p + 1, p^2 + p)$。

2. $x - p = p$ より $x = 2p$。$y - p = p$ より $y = 2p$。よって、$(x, y) = (2p, 2p)$。

3. $x - p = p^2$ より $x = p^2 + p$。$y - p = 1$ より $y = p + 1$。よって、$(x, y) = (p^2 + p, p + 1)$。

以上より、方程式を満たす正の整数の組 $(x, y)$ は $(p + 1, p^2 + p)$, $(2p, 2p)$, $(p^2 + p, p + 1)$ である。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (p + 1, p^2 + p), (2p, 2p), (p^2 + p, p + 1)$