7で割ると2余り、11で割ると3余るような300以下の自然数をすべて求める。

1. 問題の内容

7で割ると2余り、11で割ると3余るような300以下の自然数をすべて求める。

2. 解き方の手順

求める自然数を$x$とする。問題文より、以下の合同式が成り立つ。

$x \equiv 2 \pmod{7}$

$x \equiv 3 \pmod{11}$

一つ目の式より、$x = 7k + 2$ （$k$は整数）と表せる。

これを二つ目の式に代入すると、

$7k + 2 \equiv 3 \pmod{11}$

$7k \equiv 1 \pmod{11}$

ここで、$7k \equiv 1 \pmod{11}$を満たす$k$を探す。

$7k = 11n + 1$となる整数$k$, $n$を見つければよい。

$7 \times 8 = 56 = 11 \times 5 + 1$ より、$k = 8$が解の一つである。

よって、$k \equiv 8 \pmod{11}$。したがって、$k = 11m + 8$ （$m$は整数）と表せる。

$x = 7k + 2 = 7(11m + 8) + 2 = 77m + 56 + 2 = 77m + 58$

$x$は300以下の自然数なので、

$77m + 58 \le 300$

$77m \le 242$

$m \le \frac{242}{77} \approx 3.14$

$m$は整数なので、$m = 0, 1, 2, 3$

$m = 0$のとき、$x = 58$

$m = 1$のとき、$x = 77 + 58 = 135$

$m = 2$のとき、$x = 154 + 58 = 212$

$m = 3$のとき、$x = 231 + 58 = 289$

3. 最終的な答え

58, 135, 212, 289