$n$を自然数とするとき、$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数であるのは $n=3$ の場合だけであることを、すべての自然数は $3k-2$, $3k-1$, $3k$ ($k$は自然数)で表されることを利用して示せ。

1. 問題の内容

$n$を自然数とするとき、$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数であるのは $n=3$ の場合だけであることを、すべての自然数は $3k-2$, $3k-1$, $3k$ ($k$は自然数)で表されることを利用して示せ。

2. 解き方の手順

すべての自然数 $n$ は、$3k-2$, $3k-1$, $3k$ ($k$は自然数) のいずれかの形で表すことができます。

(i) $n = 3k-2$ のとき:

$n+2 = (3k-2) + 2 = 3k$ となります。

$n+2$ が素数であるためには、$3k$ が素数でなければなりません。これは $k=1$ のとき、つまり $n=3(1)-2=1$ のとき、$n+2=3$ となり、$n=1$ は素数ではないため、$n, n+2, n+4$ がすべて素数となることはありません。ただし、$k=0$ならば、$n=-2$となり、$k$は自然数という条件に反します。

もしくは、$k=1$ のとき、$n+2=3$ で素数ですが、$n = 3k - 2 = 1$となり、$n$は素数ではないので、$n=3k-2$の形では、$n, n+2, n+4$が全て素数になることはありません。

(ii) $n = 3k-1$ のとき:

$n+4 = (3k-1) + 4 = 3k+3 = 3(k+1)$ となります。

$n+4$ が素数であるためには、$3(k+1)$ が素数でなければなりません。これは $k+1 = 1$ (つまり $k=0$) のときのみ、$3(k+1) = 3$となり素数となりますが、$k=0$は自然数という条件に反します。

$k+1=1$ より、$k=0$の時、$n=-1$なので、条件に合いません。

よって、$n = 3k-1$ の形では、$n, n+2, n+4$ がすべて素数となることはありません。

(iii) $n = 3k$ のとき:

$n$ が素数であるためには、$3k$ が素数でなければなりません。これは $k=1$ のとき、つまり $n = 3(1) = 3$ のときのみ、$n=3$ は素数となります。

このとき、$n=3$, $n+2 = 3+2 = 5$, $n+4 = 3+4 = 7$ となり、すべて素数です。

$k=1$以外のとき、$n=3k$ は3で割り切れる素数ではない数なので、$n=3k$が素数になることはありません。

以上より、$n, n+2, n+4$ がすべて素数となるのは、$n=3$ の場合のみです。

3. 最終的な答え

$n, n+2, n+4$ がすべて素数であるのは $n=3$ の場合だけである。