## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) $n$ が自然数のとき、$n^5 - n$ が 5 の倍数であることを証明する。

(2) $n$ が奇数のとき、$n^2 - 1$ が 8 の倍数であることを証明する。

(3) $n$ が奇数のとき、$n^5 - n$ が 120 の倍数であることを証明する。

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2. 解き方の手順

**(1) $n^5 - n$ が 5 の倍数であることの証明**

$n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) = (n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1)$.

ここで、$n^2 + 1 = n^2 - 4 + 5 = (n - 2)(n + 2) + 5$ と変形できる。

したがって、$n^5 - n = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)$ となる。

$(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)$ は連続する 5 つの整数の積なので、5 の倍数である。

$5(n - 1)n(n + 1)$ は明らかに 5 の倍数である。

よって、$n^5 - n$ は 5 の倍数である。

**(2) $n^2 - 1$ が 8 の倍数であることの証明**

$n$ が奇数なので、$n = 2k + 1$ ($k$ は整数) と表せる。

$n^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1)$.

$k$ と $k + 1$ は連続する整数なので、どちらか一方は偶数である。したがって、$k(k + 1)$ は偶数である。

$k(k + 1) = 2l$ ($l$ は整数) と表せる。

$n^2 - 1 = 4 \cdot 2l = 8l$.

よって、$n^2 - 1$ は 8 の倍数である。

**(3) $n^5 - n$ が 120 の倍数であることの証明**

(1) より、$n^5 - n = (n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1)$. また、$n$は奇数なので、$n = 2k+1$ と表せる。

$n^5 - n = (2k)(2k+1)(2k+2)((2k+1)^2+1) = 4k(k+1)(2k+1)(4k^2+4k+2) = 8k(k+1)(2k+1)(2k^2+2k+1)$

(1)の結果から、$n^5 - n$ は 5 の倍数であることがわかっている。

(2)の結果から、$n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$ は 8 の倍数であることがわかっている。つまり、$n^5 - n = n(n^2-1)(n^2+1) = n(8k)(n^2+1) = 8n k (n^2+1)$ は 8 の倍数である。

また、連続する3整数の積 $(n-1)n(n+1)$ を含むので、$n^5 - n$は 3 の倍数。

よって、$n^5 - n$ は 3 の倍数、5 の倍数、8 の倍数である。3, 5, 8 は互いに素なので、$n^5 - n$ は $3 \times 5 \times 8 = 120$ の倍数である。

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3. 最終的な答え

(1) $n^5 - n$ は 5 の倍数である。

(2) $n^2 - 1$ は 8 の倍数である。

(3) $n^5 - n$ は 120 の倍数である。