XとYがルーレットを回してゲームをします。ルーレットは1から8までの整数が等確率で出ます。同じ数が出た場合は引き分けです。Xが4以下の数字を出した場合に、Yが勝つ確率を求めます。

1. 問題の内容

XとYがルーレットを回してゲームをします。ルーレットは1から8までの整数が等確率で出ます。同じ数が出た場合は引き分けです。Xが4以下の数字を出した場合に、Yが勝つ確率を求めます。

2. 解き方の手順

Xが4以下の数字を出す確率は、1, 2, 3, 4のいずれかが出る確率なので、$4/8 = 1/2$です。

Yが勝つためには、Yが出す数字がXの数字よりも大きい必要があります。

Xが1を出した場合、Yが勝つためにはYは2, 3, 4, 5, 6, 7, 8のいずれかを出す必要があります。その確率は$7/8$です。

Xが2を出した場合、Yが勝つためにはYは3, 4, 5, 6, 7, 8のいずれかを出す必要があります。その確率は$6/8$です。

Xが3を出した場合、Yが勝つためにはYは4, 5, 6, 7, 8のいずれかを出す必要があります。その確率は$5/8$です。

Xが4を出した場合、Yが勝つためにはYは5, 6, 7, 8のいずれかを出す必要があります。その確率は$4/8$です。

Xが1, 2, 3, 4を出す確率はそれぞれ$1/8$です。

したがって、Yが勝つ確率は、

$(1/8) * (7/8) + (1/8) * (6/8) + (1/8) * (5/8) + (1/8) * (4/8) = (7 + 6 + 5 + 4) / 64 = 22/64 = 11/32$

Xが4以下の数字を出す確率は$1/2$なので、Xが4以下の数字を出して、かつYが勝つ確率は

$(1/2)*(11/32) = 11/64$ と考えるのは間違いです。

なぜなら問題文は、Xが4以下を出した場合のYが勝つ確率を求めているからです。

つまり、Xが1, 2, 3, 4 のいずれかの数字を出すことが前提条件となっています。

Xが4以下を出すという条件の下で、Yが勝つ確率は、$(7/8 + 6/8 + 5/8 + 4/8) / 4 = (22/8) / 4 = 22/32 = 11/16$ となります。

または、Xが4以下を出す確率は、$4/8 = 1/2$ なので、条件付き確率は

$P(Yが勝つ|Xが4以下) = P(Yが勝つ かつ Xが4以下) / P(Xが4以下)$

$= (11/32) / (1/2) = (11/32) * 2 = 11/16$

3. 最終的な答え

$11/16 * (4/8) / (4/8) = 11/16$

最終的な答え：

$\frac{5}{16}$