点$(-1, 2)$を中心とし、直線$y = -3x + 4$に接する円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

点$(-1, 2)$を中心とし、直線$y = -3x + 4$に接する円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心から直線までの距離が円の半径になることを利用します。点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$の距離$d$は、次の式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

与えられた直線の式を$3x + y - 4 = 0$と変形します。

円の中心の座標は$(-1, 2)$なので、$x_0 = -1$、$y_0 = 2$、$a = 3$、$b = 1$、$c = -4$を上記の距離の公式に代入します。

$d = \frac{|3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 - 4|}{\sqrt{3^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|-3 + 2 - 4|}{\sqrt{9 + 1}}$

$d = \frac{|-5|}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{5}{\sqrt{10}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{10}$をかけます。

$d = \frac{5 \sqrt{10}}{10}$

$d = \frac{\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

円の半径は$\frac{\sqrt{10}}{2}$ です。