$\frac{2}{3}\pi$ を、実数 $k$ ($k>0$)を用いて複素数で表すと、$\frac{2}{3}\pi = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ですか？という問題です。この等式が成り立つかどうか、つまり $k$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{2}{3}\pi$ を、実数 $k$ ($k>0$)を用いて複素数で表すと、$\frac{2}{3}\pi = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ですか？という問題です。この等式が成り立つかどうか、つまり $k$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を利用します。

$\frac{2}{3}\pi$ は角度を表すので、複素平面上で考えると、$e^{i\frac{2}{3}\pi} = \cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi)$ となります。

$\cos(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$ 、$\sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$e^{i\frac{2}{3}\pi} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ となります。

問題文にある式 $\frac{2}{3}\pi = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ は正しくありません。

正しくは、$e^{i\frac{2}{3}\pi} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ です。

もし問題文が $\frac{2}{3}\pi i = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ であれば、$k$ を求めることができます。

$\frac{2}{3}\pi i = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ より、

$\frac{2}{3}\pi = k$

$k = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

問題文が $\frac{2}{3}\pi = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ の場合、この式は正しくありません。

問題文が $\frac{2}{3}\pi i = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ であると仮定すると、$k = \frac{2}{3}\pi$ が答えになります。