$\frac{2}{3}\pi$ を、実数 $k$ ($k>0$)を用いて複素数で表すと、$\frac{2}{3}\pi = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ですか?という問題です。この等式が成り立つかどうか、つまり $k$ を求める問題です。

その他複素数オイラーの公式三角関数複素平面
2025/5/16

1. 問題の内容

23π\frac{2}{3}\pi を、実数 kk (k>0k>0)を用いて複素数で表すと、23π=k(12+32i)\frac{2}{3}\pi = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)ですか?という問題です。この等式が成り立つかどうか、つまり kk を求める問題です。

2. 解き方の手順

オイラーの公式 eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta を利用します。
23π\frac{2}{3}\pi は角度を表すので、複素平面上で考えると、ei23π=cos(23π)+isin(23π)e^{i\frac{2}{3}\pi} = \cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi) となります。
cos(23π)=12\cos(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}sin(23π)=32\sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2} なので、ei23π=12+32ie^{i\frac{2}{3}\pi} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i となります。
問題文にある式 23π=k(12+32i)\frac{2}{3}\pi = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) は正しくありません。
正しくは、ei23π=12+32ie^{i\frac{2}{3}\pi} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i です。
もし問題文が 23πi=k(12+32i)\frac{2}{3}\pi i = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) であれば、kk を求めることができます。
23πi=k(12+32i)\frac{2}{3}\pi i = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) より、
23π=k\frac{2}{3}\pi = k
k=23πk = \frac{2}{3}\pi

3. 最終的な答え

問題文が 23π=k(12+32i)\frac{2}{3}\pi = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) の場合、この式は正しくありません。
問題文が 23πi=k(12+32i)\frac{2}{3}\pi i = k(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) であると仮定すると、k=23πk = \frac{2}{3}\pi が答えになります。

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