関数 $y = (2x + 5)^4$ の導関数を求めよ。

解析学導関数微分合成関数の微分チェーンルール
2025/5/16

1. 問題の内容

関数 y=(2x+5)4y = (2x + 5)^4 の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

この関数の導関数を求めるには、合成関数の微分法(チェーンルール)を使用します。
まず、u=2x+5u = 2x + 5 と置くと、y=u4y = u^4 となります。
それぞれの変数で微分すると、
dydu=4u3\frac{dy}{du} = 4u^3
dudx=2\frac{du}{dx} = 2
チェーンルールにより、
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
これらを代入して計算します。

3. 最終的な答え

dydx=4u32=8u3=8(2x+5)3\frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 2 = 8u^3 = 8(2x+5)^3
したがって、
y=8(2x+5)3y' = 8(2x+5)^3

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