関数 $y = (e^{x^2} + 1)^3$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (e^{x^2} + 1)^3$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を用いる。$y=f(g(x))$ のとき、$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ である。

この問題では、$f(u) = u^3$、$g(x) = e^{x^2} + 1$ とすると、$y = f(g(x))$ となる。

まず、$f'(u)$ を求める。

$f(u) = u^3$ より、

$f'(u) = 3u^2$

次に、$g'(x)$ を求める。

$g(x) = e^{x^2} + 1$ である。

ここで、さらに合成関数の微分を行う。$h(v) = e^v$、$w(x) = x^2$ とすると、$e^{x^2} = h(w(x))$となる。

$h'(v) = e^v$

$w'(x) = 2x$

したがって、$(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

よって、$g'(x) = (e^{x^2} + 1)' = 2xe^{x^2}$

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(e^{x^2} + 1)^2 \cdot 2xe^{x^2} = 6xe^{x^2}(e^{x^2} + 1)^2$

3. 最終的な答え

$y' = 6xe^{x^2}(e^{x^2} + 1)^2$