関数 $y = \sqrt{(3x+1)^4 + 2x^2}$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{(3x+1)^4 + 2x^2}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = ((3x+1)^4 + 2x^2)^{1/2}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を用いて導関数を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。ここで、$u = (3x+1)^4 + 2x^2$ とします。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$y = u^{1/2}$ なので、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} = \frac{1}{2 \sqrt{(3x+1)^4 + 2x^2}}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = (3x+1)^4 + 2x^2$ なので、

$\frac{du}{dx} = 4(3x+1)^3 \cdot 3 + 4x = 12(3x+1)^3 + 4x$

最後に、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{(3x+1)^4 + 2x^2}} \cdot (12(3x+1)^3 + 4x) = \frac{12(3x+1)^3 + 4x}{2 \sqrt{(3x+1)^4 + 2x^2}}$

約分して、

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(3x+1)^3 + 2x}{\sqrt{(3x+1)^4 + 2x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(3x+1)^3 + 2x}{\sqrt{(3x+1)^4 + 2x^2}}$