$\lim_{x \to \infty} \log_2 \frac{4x-1}{x+2}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \log_2 \frac{4x-1}{x+2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{4x-1}{x+2}$ の $x \to \infty$ での極限を計算します。

$\frac{4x-1}{x+2}$ の分子と分母を $x$ で割ると、

$\frac{4 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{2}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x-1}{x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{4-0}{1+0} = 4$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_2 \frac{4x-1}{x+2} = \log_2 \left( \lim_{x \to \infty} \frac{4x-1}{x+2} \right) = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

3. 最終的な答え

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