関数 $y = (x^3 + 2x) \cdot \sqrt{1 + x^2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 + 2x) \cdot \sqrt{1 + x^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで、

$u = x^3 + 2x$ 、 $v = \sqrt{1 + x^2}$ とします。

まず、$u$ の微分を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2$

次に、$v$ の微分を計算します。

$v = \sqrt{1 + x^2} = (1 + x^2)^{1/2}$

連鎖律より、

$v' = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

積の微分公式に当てはめます。

$y' = u'v + uv' = (3x^2 + 2)\sqrt{1 + x^2} + (x^3 + 2x) \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

$y' = (3x^2 + 2)\sqrt{1 + x^2} + \frac{x(x^3 + 2x)}{\sqrt{1 + x^2}}$

$y' = \frac{(3x^2 + 2)(1 + x^2)}{\sqrt{1 + x^2}} + \frac{x(x^3 + 2x)}{\sqrt{1 + x^2}}$

$y' = \frac{(3x^2 + 2)(1 + x^2) + x(x^3 + 2x)}{\sqrt{1 + x^2}}$

$y' = \frac{3x^2 + 3x^4 + 2 + 2x^2 + x^4 + 2x^2}{\sqrt{1 + x^2}}$

$y' = \frac{4x^4 + 7x^2 + 2}{\sqrt{1 + x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^4 + 7x^2 + 2}{\sqrt{1 + x^2}}$