この課題では、整数の最大公約数と最小公倍数を求める問題、メルセンヌ数の素因数分解、そして自分の学籍番号の素因数分解を行う問題が出題されています。今回は、112と140の最大公約数、112と140の最小公倍数、140と252の最大公約数、140と252の最小公倍数、そして12番目のメルセンヌ数の素因数分解を求めます。

1. 問題の内容

この課題では、整数の最大公約数と最小公倍数を求める問題、メルセンヌ数の素因数分解、そして自分の学籍番号の素因数分解を行う問題が出題されています。今回は、112と140の最大公約数、112と140の最小公倍数、140と252の最大公約数、140と252の最小公倍数、そして12番目のメルセンヌ数の素因数分解を求めます。

2. 解き方の手順

1. 112と140の最大公約数：

* 112と140を素因数分解します。

$112 = 2^4 \times 7$

$140 = 2^2 \times 5 \times 7$

* 共通の素因数の最小の指数を取ります。

$2^2$と$7$が共通なので、最大公約数は$2^2 \times 7 = 4 \times 7 = 28$です。

2. 112と140の最小公倍数：

* 112と140の素因数分解は上記のとおりです。

* すべての素因数の最大の指数を取ります。

$2^4$, $5$, $7$ なので、最小公倍数は$2^4 \times 5 \times 7 = 16 \times 5 \times 7 = 560$です。

3. 140と252の最大公約数：

* 140と252を素因数分解します。

$140 = 2^2 \times 5 \times 7$

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

* 共通の素因数の最小の指数を取ります。

$2^2$と$7$が共通なので、最大公約数は$2^2 \times 7 = 4 \times 7 = 28$です。

4. 140と252の最小公倍数：

* 140と252の素因数分解は上記のとおりです。

* すべての素因数の最大の指数を取ります。

$2^2$, $3^2$, $5$, $7$ なので、最小公倍数は$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 4 \times 9 \times 5 \times 7 = 1260$です。

5. 12番目のメルセンヌ数の素因数分解：

* 12番目のメルセンヌ数は$2^{12} - 1$です。

* $2^{12} - 1 = 4096 - 1 = 4095$

* 4095を素因数分解します。

$4095 = 3^2 \times 5 \times 7 \times 13$

3. 最終的な答え

1. 112と140の最大公約数：28

2. 112と140の最小公倍数：560

3. 140と252の最大公約数：28

4. 140と252の最小公倍数：1260

5. 12番目のメルセンヌ数の素因数分解：3,3,5,7,13