与えられた方程式を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ をすべて求めよ。ただし、$x \le y \le z$ とする。 (1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ (2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} = \frac{4}{3}$

1. 問題の内容

与えられた方程式を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ をすべて求めよ。ただし、$x \le y \le z$ とする。

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$

(2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} = \frac{4}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$

$x \le y \le z$ より、$\frac{1}{x} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}$。

したがって、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{3}{x}$ となるので、 $1 \le \frac{3}{x}$ となり、$x \le 3$。

$x$ は自然数なので、$x = 1, 2, 3$。

* $x = 1$ のとき、$\frac{1}{1} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ となるが、$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ となり、これを満たす自然数 $y, z$ は存在しない。

* $x = 2$ のとき、$\frac{1}{2} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ より、$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}$。

$\frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}$ より、$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{2}{y}$ となるので、$\frac{1}{2} \le \frac{2}{y}$ となり、$y \le 4$。

$x \le y$ より、$2 \le y \le 4$。

* $y = 2$ のとき、$\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ となり、これを満たす自然数 $z$ は存在しない。

* $y = 3$ のとき、$\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ より、$z = 6$。

* $y = 4$ のとき、$\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ より、$z = 4$。

* $x = 3$ のとき、$\frac{1}{3} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ より、$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}$。

$\frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}$ より、$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{2}{y}$ となるので、$\frac{2}{3} \le \frac{2}{y}$ となり、$y \le 3$。

$x \le y$ より、$y = 3$。

$\frac{1}{z} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ より、$z = 3$。

(2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} = \frac{4}{3}$

$x \le y \le z$ より、$\frac{1}{x} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}$。

$\frac{1}{x} < \frac{4}{3}$ より $x > \frac{3}{4}$。$x$ は自然数なので $x \ge 1$。

$x=1$のとき、$\frac{1}{1} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} = \frac{4}{3}$ より $\frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} = \frac{1}{3}$。

$\frac{1}{2y} \le \frac{1}{3}$ より $2y \ge 3$なので $y \ge 2$。

$y = 2$のとき、$\frac{1}{4} + \frac{1}{3z} = \frac{1}{3}$ より $\frac{1}{3z} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ なので $3z = 12$ より $z = 4$。

$y = 3$のとき、$\frac{1}{6} + \frac{1}{3z} = \frac{1}{3}$ より $\frac{1}{3z} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ なので $3z = 6$ より $z = 2$。これは $y \le z$ を満たさない。

$x=2$のとき、$\frac{1}{2} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} = \frac{4}{3}$ より $\frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

$\frac{1}{2y} < \frac{5}{6}$ より $2y > \frac{6}{5}$ よって $y > \frac{3}{5}$. $x \le y$ より $y \ge 2$。

$y=2$ のとき $\frac{1}{4} + \frac{1}{3z} = \frac{5}{6}$ より $\frac{1}{3z} = \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$ よって $3z = \frac{12}{7}$ で $z$ が整数にならない。

$x=3$のとき、$\frac{1}{3} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} = \frac{4}{3}$ より $\frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} = 1$

$x \le y$ より $y \ge 3$。

$\frac{1}{2y} < 1$ より $y > \frac{1}{2}$。

$y=1$とすると$x \le y$ を満たさない。

$\frac{1}{2y} < 1$より$2y >1$ より$y \ge 1$

$x \le y \le z$ なので $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}$なので$\frac{1}{2y} + \frac{1}{3z} < 1$はありえない。

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)$

(2) $(x, y, z) = (1, 2, 4)$