関数 $y = \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{x^2+1}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{x^2+1}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分するために、商の微分法則を使います。商の微分法則は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の導関数が $y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = e^{\sqrt{2x+1}}$ かつ $v(x) = x^2 + 1$ です。

まず、$u(x)$ の導関数 $u'(x)$ を計算します。これは合成関数の微分を使う必要があります。つまり、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$ です。ここで、$w = \sqrt{2x+1}$ とすると、$u = e^w$ なので、$\frac{du}{dw} = e^w$ です。次に、$w = \sqrt{2x+1} = (2x+1)^{\frac{1}{2}}$ なので、$\frac{dw}{dx} = \frac{1}{2}(2x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ です。

したがって、$u'(x) = e^{\sqrt{2x+1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}}$ となります。

次に、$v(x) = x^2+1$ の導関数 $v'(x)$ を計算します。これは簡単に $v'(x) = 2x$ となります。

それでは、商の微分法則を使って $y'$ を求めます。

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{\frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}}(x^2+1) - e^{\sqrt{2x+1}}(2x)}{(x^2+1)^2}$

$= \frac{e^{\sqrt{2x+1}}(x^2+1) - 2xe^{\sqrt{2x+1}}\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}(x^2+1)^2}$

$= \frac{e^{\sqrt{2x+1}}(x^2+1 - 2x\sqrt{2x+1})}{\sqrt{2x+1}(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{e^{\sqrt{2x+1}}(x^2+1 - 2x\sqrt{2x+1})}{\sqrt{2x+1}(x^2+1)^2}$