$\int (2x+1)^3 dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int (2x+1)^3 dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(2x+1)^3$を展開します。

$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

次に、展開した式を積分します。

$\int (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) dx = 8\int x^3 dx + 12\int x^2 dx + 6\int x dx + \int 1 dx$

各項を積分します。

$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_1$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_2$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_3$

$\int 1 dx = x + C_4$

積分結果を代入します。

$8\int x^3 dx + 12\int x^2 dx + 6\int x dx + \int 1 dx = 8(\frac{x^4}{4}) + 12(\frac{x^3}{3}) + 6(\frac{x^2}{2}) + x + C$

整理します。

$2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x + C$

3. 最終的な答え

$2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x + C$