媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) について、以下の問いに答える。 (1) この曲線の概形を描く。 (2) この曲線と $x$ 軸で囲まれた図形を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線

$x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$)

について、以下の問いに答える。

(1) この曲線の概形を描く。

(2) この曲線と $x$ 軸で囲まれた図形を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線の概形を描く。

$t$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$x$ は $0$ から $1$ まで増加し、$y$ は $0$ から最大値を取り、再び $0$ に戻る。

$y = \sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2x\cos t$ である。

$\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - x^2}$ より、

$y = 2x\sqrt{1 - x^2}$ となる。

$t = 0$ のとき $(x, y) = (0, 0)$

$t = \frac{\pi}{4}$ のとき $(x, y) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき $(x, y) = (1, 0)$

$x$ と $y$ は共に非負である。よって、第1象限のグラフとなる。

$y' = 2\sqrt{1-x^2} + 2x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = 2\sqrt{1-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2(1-x^2) - 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = 0$ となるのは $2 - 4x^2 = 0$ より $x^2 = \frac{1}{2}$ すなわち $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のときである。

このとき、$y = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

$(x, y) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ で極大値をとる。

(2) 回転体の体積を求める。

$V = \pi \int_0^1 y^2 dx = \pi \int_0^1 (2x\sqrt{1 - x^2})^2 dx = \pi \int_0^1 4x^2(1 - x^2) dx$

$V = 4\pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx = 4\pi \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5\right]_0^1 = 4\pi \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = 4\pi \left(\frac{5 - 3}{15}\right) = 4\pi \frac{2}{15} = \frac{8\pi}{15}$

3. 最終的な答え

(1) 曲線の概形：$(0,0)$ から $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ を経て $(1,0)$ に至る滑らかな曲線。

(2) 回転体の体積：$\frac{8\pi}{15}$