次の不定積分を、適切な置換を用いて求めます。 $\int x\sqrt{1+x^2}dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を、適切な置換を用いて求めます。

$\int x\sqrt{1+x^2}dx$

2. 解き方の手順

まず、$1+x^2 = u$ と置換します。

すると、両辺を$x$で微分して、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

よって、$du = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2}du$ が得られます。

これらを元の積分に代入すると、

$\int x\sqrt{1+x^2}dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}}du$

となります。

$u$について積分すると、

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}}du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

最後に、$u = 1+x^2$ を代入すると、

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$